آزمونهاي پايداري ضرايب در نوشتارهاي اقتصاد سنجي و كاربرد آنها

 

دكتر حسين عباسي‌نژادã دكتر غلامرضا كشاورز حدادãã

 

 

 چكيده

مقاله حاضر به معرفي توابع نمونه‌اي آزمونهاي پايداري ضرايب در اقتصاد‌سنجي مي‌پردازد. تاكيد عمده بر روشن ساختن كاستي‌ها و برتري هر يك از آنها و معرفي فرضهايي است كه اين توابع نمونه‌اي بر آنها استوار يافته‌اند. مطالعه حاضر، طيف گسترده‌اي از توابع نمونه‌اي آزمون پايداري ضرايب را از 1960 تا 1999 براي مدلهاي خطي، غيرخطي، همزمان و تك معادله‌اي دربرمي‌گيرد.

مقدمه

آزمون و تحليل تغيير ساختار درمدلهاي اقتصادسنجي زمينه پژوهش بسيار پرجاذبه‌اي در اقتصاد كاربردي  و اقتصاد سنجي نظري است. مسأله پايداري روابط اقتصادي در طول زمان توسط اقتصادسنجي‌دانان بسياري نظير چاو (1960)، دوزنبري و كلاين (1965)، كولي و پرسكات (1976) در چند دهه گذشته و اندروز (1996، 1999)، دافور (1982، 1996)، گيسلز (1990) و ديگران در دهه اخيرتحليل شده است. تا يك دهه پيش، به طور عمده، اقتصادسنجي‌دانان برمدلهاي تك معادله‌اي خطي تمركز داشتند. در سالهاي اخير شاهد دستاوردهاي جديد گوناگوني براي مدلهاي مانا و ناماناي پويا، مدلهاي رگرسيون غيرخطي، معادلات همزمان خطي و غيرخطي و مدلهاي اولر بوده‌ايم.

پايداري پارامترها زماني اهميت بيشتري پيدا مي‌كند كه پژوهشگران درصدد بكارگيري مدلهاي ساخته برآورد شده در جهت پيش‌بيني و شبيه‌سازي باشند. به طور مثال، بررسي پايداري تقاضاي پول، تقاضاي انرژي و تقاضاي واردات، داراي اهميت بسزايي در تصميم‌گيريهاي مربوط به نقش سياست پولي و نيز سياستهاي قيمت‌گذاري و تعديل اقتصادي دارد.

اهميت آزمون پايداري ساختاري در نوشتارهاي اقتصادسنجي به اندازه‌اي است كه
 J.O. Econometrics در اكتبر1992 در دانشگاه مونترال كانادا كنفرانسي را با عنوان "پيشرفتهاي اخير در اقتصادسنجي تغيير ساختار" برپا نمود و نيز شماره ويژه‌اي را در سال 1996 تحت عنوان پيشرفتهاي اخير در آزمون تغييرات ساختاري منتشر كرد. امروزه در اغلب نرم‌افزارهاي اقتصادسنجي دستوراتي براي انجام محاسبات توابع نمونه مختلف آزمون پايداري ضرايب تدارك ديده شده است. اهميت اين موضوع از چشم پژوهشگران كشورمان نيز به دور نمانده است و پژوهشگران بسياري در كارهاي پژوهشي خود، برخي از روشها (هرچند قديمي) و تكنيكهاي آن را بكار بسته‌اند. ح. عباسي‌نژاد و ح. صادقي
 (1378)، فرضيه پايداري روابط مربوط به تقاضاي حاملهاي انرژي، بنزين، گازوئيل، نفت سفيد، برق و گاز طبيعي را با بكارگيري توابع نمونه‌اي CUSUM و مربعات CUSUM آزمون كرده‌اند. دستاوردهاي آنها نشان مي‌دهد كه فرضيه ياد شده تنها در الگوي تقاضاي خطي نفت كوره براساس CUSUM رد شده است. ا. توكلي و هـ . رنجبر (1377)، با بكارگيري تابع نمونه‌اي CUSUM، لگاريتم نسبت راستنمايي كوانت و آزمون رگرسيونهاي متحرك فرضيه پايداري ساختاري ضرايب تقاضاي واردات را آزمون نموده‌اند كه براساس هر سه روش فرضيه ياد شده رد شده است.

تابع نمونه‌اي CUSUM براي آزمون تغيير ساختار به آن صورتي كه توسط براون و ديگران (1975) پيشنهاد گرديد به يك آزمون تشخيص متعارفي در مدلهاي خطي تبديل شده، ولي با نارسايي‌هايي روبرو است. مهمترين نارسايي آن، همانطوري‌كه از سوي اقتصادسنجي‌دانان بسياري در مقالات گوناگون بدان اشاره شده است، شرط استقلال تمام متغيرهاي توضيحي از جزء اخلال مي‌باشد . به ويژه اينكه، نبود متغيرهاي با وقفه از نوع وابسته در سمت راست معادله، يك قيد اكيد است. بنابراين توجه به كاستي‌ها و برتريهاي هر يك از اين توابع نمونه‌اي در هنگام بكارگيري آن ضرورت دارد. هدف نوشتار حاضر ارايه تصويري از وضعيت موجود اين شاخه از اقتصادسنجي و بيان ويژگيها، قابليت‌ها و فرضهايي كه هر يك از آنها بر آن استوار يافته‌اند، مي باشد.

1. چارچوب و دورنما

نوشتارهاي مربوط به آزمون فرضيه پايداري ضرايب بسيار گسترده است، ولي موضوعات مربوط به آزمون فرضيه پايداري ضرايب در اقتصاد سنجي پس از انتقاد اثرگذار لوكاس[1](1976) از الگوهاي اقتصادسنجي رشد سريعي يافته است. وي در انتقاد خود خاطر نشان ساخت كه پارامترهاي الگوهاي اقتصادسنجي سنتي نسبت به تغييرات مختلف در رژيمهاي سياستي، پايا[2] نيستند. در واكنش به اين انتقاد، راهبردهاي گوناگون استنتاج آماري براي الگوهاي پارامترهاي ساختاري با بكارگيري شرطهاي بهينگي اويلر در الگوهاي پويا پيشنهاد شدند. از جمله آنها روش گشتاورهاي تعميم يافته[3] هانسن (1982)
(از اين به بعد GMM) است، كه روش متغيرهاي ابزارهاي در ميان آنها از مهمترين راهبردهاي استنتاجي براي پارامترهاي ساختاري است. از اينرو منطق استفاده از آزمونهاي پايداري ساختاري اين بود كه اگر نظريه‌اي پايايي پارامترهاي ساختاري را در طول زمان و در رژيمهاي مختلف سياستي پيش‌بيني مي‌كند، آنگاه تخمين‌زنهاي اين پارامترها نيز بايد يك چنين پايايي را از خود نشان دهند. دو رهيافت به فراواني در صورت‌بندي آزمونهاي پايداري ساختاري ضرايب معادلات رفتاري در نوشتارهاي اقتصادسنجي به چشم مي‌خورند.

1. رهيافت مبتني بر معين بودن دوره‌هاي زماني شكستگي در بردار پارامترها.

2. رهيافت مبتني بر نامعين بودن دوره‌هاي زماني شكستگي در بردار پارامترها.

آزمون فرضيه در رهيافت مبتني بر معين بودن دوره زماني شكستگي در بردار پارامترها در نوشتارهاي اقتصاد سنجي به دو صورت انجام پذيرفته است.

1 ـ الف. آزمون فرضيه برابري دو بردار از پارامترها. در اين روش مجموعه داده‌ها به دو زير نمونه جدا از هم تقسيم مي‌شوند، كه آزمون معروف چاو[4] ( 1960) از اين دست مي‌باشد.

1 ـ ب. اين روش آزمون فرضيه به رهيافت آزمون‌هاي پيش‌بيني‌كننده معروف مي‌باشد، كه بر پيش‌بيني‌هاي خارج از دوره نمونه براي يك زيرنمونه، با استفاده از پيش‌بيني‌هاي حاصل از زيرنمونه ديگر استوار مي‌باشد. توابع نمونه‌اي معرفي شده از سوي اريك گيسلز و آلاستاير هال ( 1990)، دنيس هافمان و آدرين پاگان (1989)، دونالد اندروز و ري ـ سي ـ فير (1988) در اين رده قرارمي‌گيرند. به طوركلي اين اقتصادسنجي‌دانان، توابع نمونه‌اي از نوع والد، شبه نسبت راستنمايي و ضريب لاگرانژ را در آزمون پايداري ساختاري روابط رگرسيوني با استفاده از شرطهاي اولر بكار بسته‌اند. اين روشهاي آزمون عموماً براي انواع گوناگون از الگوهاي پويا، معادلات همزمان غيرخطي و براي رده گسترده‌اي از روشهاي استنتاج پوشش داده شده بوسيله تخمين‌هاي G.M.M مي‌تواند بكار بسته شود.

2 ـ الف. در بسياري از موضوعات كاربردي زمان شكستگي و تغيير ساختار در ضرايب ساختاري ناشناخته بوده و يا تعداد دوره‌هاي شكستگي بيش از يك زمان معين مي‌باشد. بنابراين بخشي از نوشتارهاي اقتصاد سنجي توجه خود را به اين موضوع متمركز نموده‌اند. توابع نمونه‌اي ارايه شده توسط براون، دوربين و‏ اوانس (1965) و كرامر، پلبرگر و آلت
(1988) و جي ـ ام ـ دافر (1982)، از جمله توابع آزموني است كه با استفاده از پسماندهاي عطفي براي آزمون فرضيه برابري ضرايب در دوره‌هاي مختلف ساخته و ارايه شده‌اند.

2 ـ ب. دسته ديگري از توابع نمونه‌اي ارايه شده براي آزمون فرضيه برابري ضرايب به آزمون نوسانات[5] معروف مي‌باشند. تلاشهاي نظري صورت پذيرفته در اين زمينه در كارهاي سن (1980)، پل برگر (1983) و پل برگر، كرامر و كنتروز (1989) ديده مي‌شود.

2 ـ ج. آزمونهاي پايداري ضرايب و تغيير ساختار با نقطه تغيير نامعين براي فرضيه برابري ضرايب دور زيرنمونه اولين با زمان (هاي ) شكستگي ناشناخته نخستين بار توسط  هاوكينز[6] (1987) و پس از آن دونالد اندروز (1993) و سوول[7] (1996) مطرح گرديد . دونالد اندروز در مقاله وزين خود روش‌ها و توابع نمونه‌اي گوناگوني به صورت:

    ،         و    

‌همراه با جدول كوانتيل‌هاي آنها ارايه نموده است. در ادامه جزئيات هر يك از توابع نمونه‌اي و آزمون ياد شده در تقسيم‌بندي‌هاي بالا ارايه مي‌گردد.

2 ـ د. تعبيري از آزمونهاي پايداري ضرايب از نوع (1 ـ ب) ارايه شده از سوي هافمان و پاگان (1989) و گيسلز و هال ( 1990) توسط رايت[8] (1997) ارايه گرديده است و در آن نشان داده مي‌شود كه تابع نمونه‌اي ارايه شده در هافمان و پاگان (1989) و گيسلز و هال (1990) در چارچوب الگوي GMM در صورت برقراري فرضيه صفر به سوپرمم فرايند Tied-down Bessel  مي‌گرايد. اغلب توابع آزمون ارايه شده با بكارگيري برآوردگرهاي مشمول در روش گشتاورهاي[9] تعميم‌يافته ساخته مي‌شوند.

2. آزمونهاي برابري ميان مجموعه‌هايي از ضرايب در دو رگرسيون خطي

گريگوري چاو[10] (1960) با طرح اين مسأله كه ممكن است پژوهشگري به دنبال آزمودن امكان تعلق m مشاهده اضافي به يك رگرسيون باشد، آزمونهايي را در قالب الگوي رگرسيون خطي نرمال روابط اقتصادي ارايه مي‌كند. در يك رگرسيون خطي كه براي نشان دادن يك رابطه اقتصادي مورد استفاده قرار مي گيرد، اغلب اين پرسش طرح مي‌شود كه آيا اين رابطه در دو دوره زماني متفاوت پايدار باقي مي‌ماند، يا ، آيا يك رابطه مشخص، براي دو گروه از كارگزاران اقتصادي برقرار مي‌گردد. از ديدگاه علم آمار اين پرسشها مي‌توانند با آزمودن تعلق دو مجموعه از مشاهدات به يك الگوي رگرسيوني، پاسخ داده شوند.

الگوي عمومي فرضيه‌هاي خطي مي‌تواند شكل زير را به خود بگيرد.

(1)                                                                            

مي‌توان نشان داد كه مجموع مجذورات پسماندها براساس فرضيه H₀  برابر مجموع مجذورات پسماندهاي مبتني بر فرضيه مقابل ، بعلاوه مجموع مجذورات انحرافات ميان دو مجموعه از برآوردهاي Y مبتني بر دو فرضيه است و نيز مي‌توان نشان داد كه نسبت ميان دو مجموع مجذورات ياد شده تعديل شده با درجه آزادي متناظر خود، به شرط برقراري فرضيه‌صفر، داراي توزيع F است.

مجموع مجذورات پسماندها براساس فرضيه صفر مي‌تواند به صورت زير نوشته شود:

(2)

از آنجايي‌كه پسماندها، حاصل رگرسيون n+m مشاهده بر روي P متغير توضيحي مي‌باشد، صورت درجه دوم (2) در ها داراي رتبه n+m-P است.

اگر فرضيه مقابل  درست باشد، به الگوي (1) باز خواهيم گشت، و مجموع مجذورات بردار پسماندها براساس درستي H_a عبارت خواهد بود از:

(3)                                                  

از آنجايي‌كه دو صورت درجه دوم[11] آخر به ترتيب داراي رتبه‌هاي n-P و m-P مي‌باشند، و با توجه به اينكه  و  مستقل ازهم مي‌باشند، رتبه صورت درجه دوم (3) برابر P2n+m- خواهد بود.

اكنون مجموع مجذورات (2) مبتني بر فرضيه H₀  مي‌تواند به مجموع مجذورات (2) مبتني برH_a  به علاوه مجموع مجذورات تفاضل‌هاي  و  تجزيه گردد.

آن گاه پس از مجمو‌ع‌يابي مجذورات عناصر:

 (4)                                         

توجه داريم كه، عناصر حاصل ضربهاي متقاطع در سمت راست (4) برابر صفر مي‌باشند. براي صرفه‌جويي در نوشتار، عبارت بالا به صورت زير نوشته مي‌شود:

₃Q +₂Q=₁Q

مي‌توان نشان داد كه رتبه صورت درجه دوم ₃Q حداكثر برابر P (تعداد متغيرهاي توضيحي الگو) است[12]. براساس فرضيه صفر، ₂Q و ₃Q داراي توزيع مستقل از هم  و  مي‌باشد. و توزيع ₃Q – درصورت برقرارنشدن‌
 H₀ – تحت تأثير قرار مي‌گيرد، و توزيع ₂Q ارتباطي به برقراري H₀ يا عدم برقراري آن ندارد. بنابراين مي‌توانيم فرضيه H₀ را به وسيله نسبت F آزمون كنيم:

(5)                                                           

در اين رهيافت ، يك فرض مهم اين است كه واريانس اجزاء اخلال ميان دو رگرسيون همسان است. اگر اين فرض برقرار نباشد، در مدل متغير،  عنصر اول از اجزاء اخلال واريانس  در حالي‌كه  مشاهده آن داراي واريانس  است. بنابراين مدل مقيد با ناهمساني واريانس روبرو مي‌باشد و از اين رو دستاوردهاي مدل رگرسيون كلاسيك، قابليت كاربرد خود را از دست مي‌دهد. اشميت و ديگران (1977)، اوتاني و تايادا (1985) و تايادا واوتاني( 1986) نشان داده‌اند كه در اين حالت وقوع خطاي نوع اول يعني احتمال رد شدن فرضيه H₀ درست محتمل است.

3. آزمونهاي پيش‌بيني كننده پس از نمونه براي تخمين‌زنهاي روش گشتاورهاي تعميم يافته

دنيس هافمان و اَدرين پاگان[13] (1989) با بكارگيري برآوردگرهاي (GMM) پيشنهادي هانسن [14] (1982)،  را به صورت زير تعريف مي‌كنند.

(6)                                               

كه در آن A_T ماتريس وزني و f(X_i, θ) بردار معادلات اويلر – شرايط مرتبه اول، θ بردار 1 × K ضرايب معادله رگرسيوني و T تعداد كل مشاهدات مربوط به نمونه مي‌باشند. اگر A_T  داراي ابعاد K×K و A_T=I_K باشد،‌ جواب  مي‌گردد و درواقع به جواب بسيار مرسومي از GMM مي‌رسيم كه همان تخمين‌زنهاي حداقل مربعات معمولي است. ايده اساسي كه در وراي تابع آزمون پيشنهادي هافمان و پاگان قرار دارد بسيار ساده است. آنها موفقيت در پيش‌بيني پس از نمونه تخمين‌زنهاي يك الگو را مبناي ساختن تابع نمونه‌اي موردنظر خود قرار داده‌اند. از نظر آنها، يك آزمون پيش‌بيني‌كننده ساده براي الگوهاي برآورد شده توسط اين روش بايد بتواند متوسط خطاي پيش‌بيني را براي دوره پيش بيني بعد از مشاهدات ,T...، 1 +T₁ يعني:

(7)                                                                                                             

ارزشيابي نمايد. عبارت (7) مي‌تواند به صورت  نيز بيان گردد كه همان شرط‌هاي مرتبه اول بهينه‌سازي تابع هدف براي مشاهدات پس از نمونه و كه  مقدار ارزشيابي شده توسط تخمين زن GMM،  است. در واقع  معادلي است كه ميانگين مقادير شرطهاي مرتبه اول در پيش‌بيني دوره خارج از نمونه آن، آزمون تشخيص سودمندي مي‌تواند باشد. تابع نمونه‌اي مورد نظر به صورت زير تعريف مي‌گردد.

(8)                                                                                                              

با استفاده از فرضهاي زير و با فرض برقراري فرضيه صفر مبني بر پايداري ضرايب مي‌توان توزيع مجانبي  را بدست آورد.

الف.  نسبت دوره پيش‌بيني T₂ به T ثابت است                     وقتي  

ب.  f_i بستگي به اندازه كافي كم توان[15] را نشان داده و گشتاورهاي لازم براي بدست آودرن توزيع مجانبي آن وجود دارد، كه:

(9)                                                            

() نشانه همگرايي درتوزيع است)

چنانچه

به طوري‌كه:

(10)                                             

فرض (الف) به اين معني است كه دوره پيش‌بيني با افزايش حجم نمونه رشد مي‌يابد. فرض (ب) نتيجه هانسن درباره توزيع مجانبي تخمين‌زنهاي GMM است. فرض (ب) براي تعداد بسيار زيادي از فرايندها برقرار مي‌گردد. قطري بودن ماتريس واريانس كواريانس براي حالتي كه f_i ها مستقل از هم مي‌باشند بديهي است، حتي اين وضعيت براي f_i هايي كه از فرايندهاي ARMA وشرايط مخلوط [16] پيروي مي‌كنند نيز درست است[17].

هنگامي‌كه  حاصل MLE باشد، همانند الگوهاي توبيت، لوجيت، پروبيت و غيره ، f_i ها نمراتي[18] نسبت به g، با  ،  مي‌گردد. از اين‌رو براي اين الگوهاي برآوردشده داريم:

(11)                                                                               

بنابراين تابع نمونه‌اي مبتني بر فرضيه صفر و فرضهاي الف و ب  هافمان و پاگان به صورت زير تعريف مي‌گردد[19].

(12)                                     

كه در آن  تخمين‌زن سازگاري از ماتريس واريانس كواريانس شرايط مرتبه اول اويلر است.

4. آزموني براي پايداري ساختاري پارامترهاي شرايط اويلر برآورد شده توسط تخمين‌زنهاي GMM

اريك گيسلز و آلاستاير هال[20]GH(1990) يك تابع نمونه اي پيش‌بيني كننده براي پايداري تخمين‌زنهاي GMM معرفي مي‌كنند. پرسش اساسي كه در وراي اين روش وجود دارد اين است كه آيا امكان بكارگيري پارامترهاي يك زير نمونه‌اي براي پيش‌بيني زير نمونه ديگر وجود دارد. اين آزمون براي طيف گسترده‌اي از الگوها، نظير الگوهاي پويا، معادلات همزمان، غيرخطي و براي رده وسيعي از روشهاي استنتاج آماري پوشش داده شده به وسيله GMM بكار بسته مي‌شود. اگر چه اين آزمون براي مواردي است كه دانش پيشيني درباره تغيير ساختار وجود داشته باشد، اما در صورت نبود اين دانش نيز مي‌تواند به عنوان آزمون اعتبار الگوي استاندارد و براساس تجزيه 50،50 نمونه مورد استفاده قرار گيرد.

توابع نمونه‌اي مورد نظر GH(1990):

1 ـ نيازي به برآورد  ندارند.

2 ـ‌ تمام شرطهاي متعامد بودن زير نمونه دوم را نيز استخراج مي‌كنند.

3 ـ به طور پيشيني زير مجموعه‌اي از شرط‌هاي متعامد بودن در زير نمونه دوم را برابر صفر قرار نمي دهند.

توابع نمونه‌اي بحث شده در اين بخش در اساس تركيبي از جنبه‌هاي توابع نمونه‌اي والد پيشنهادي اندروز و فير (1987) و آزمون هانسن (1982) براي محدوديت‌هاي فراشناسايي است. علاوه براين، آزمونهاي بحث شده در اين بخش داراي برتري‌هاي بسياري نسبت به آزمونهاي والد، ضريب لاگرانژ و نسبت راستنمايي است. بويژه اينكه، آنها از نظر محاسباتي بسيار ساده‌تر از توابع نمونه ياد شده مي‌باشند.

4-1. نمادگذاري و تعريف‌ها

مقدمات و فرضهاي زير براي بدست آوردن نتايج بعدي ضروري مي باشند.

الف( تخمين‌زنها بر اين استدلال استوار است كه:                                   Ef(x_t, β₀)= _°

تابع f برداري 1×P از قيدهاي گشتاوري، همانند شرطهاي متعامد بودن است كه در شرطها اويلر ديده مي‌شوند.

ب)  بردار پارامترواقعي  عضوي از فضاي پارامتري  است.

ج)  يك فضاي متريك جدايي پذير[21] است.

د) تابع  براي هر اندازه‌پذير[22] است.

علاوه بر اين، براي اطمينان از وجود سازگاري و نرمال بودن مجانبي، شرطهاي منظم بودن [23]  گالنت و وايت (1988) [24] به شرح زير منظور مي‌گردد.

 هـ) فرايند {x_t} از نوع مخلوط α[25]با سايزبراي است.

و) عناصر {f(x_t,β)} داراي وابستگي زماني نزديك با {x_t} با سايز بر است.

ز) گشتاور مرتبه rام عبارت {f(x_t,β₀)} متناهي است. r در فرض (هـ) تعريف شده است.

علاوه براين، نمونه به دو قسمت به صورت زير افراز مي‌گردد، يعني:

زيرنمونه اول                                        

زير نمونه دوم                               

ح) نقطه تجزيه نمونه به طور پيشيني معلوم است.

ط) فرض مي‌گردد كه نسبت رشد تعداد دو نمونه يعني  ثابت است.

آنگاه  بدست‌آمده از GMM با هر حجمي از نمونه نشان داده شده با       براي بعضي از كه  مجموعه‌اي از نقاط نمونه در فضاي احتمال است ـ به صورت زيرتعريف مي‌گردد.

تعريف: تخمين‌زنGMM ،  دنباله‌اي از بردارهاي تصادفي است كه:

(13)                                                        

به طوري‌كهP_N  ماتريس مربع وزني است كه تابعي ازداده است.[26]